Download Algorithmen und rekursive Funktionen by A. I. Malcev (auth.) PDF

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  • April 12, 2017
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By A. I. Malcev (auth.)

Noch in den 30er Jahren unseres Jahrhunderts erweckten die mathematische Logik und die damals entstehende Algorithmentheorie den Anschein besonders abstrakter und von praktischen Anwendungen besonders weit entfernter mathe­ matischer Disziplinen. Heute hat sich die scenario radikal verändert. Es ist jetzt allgemein anerkannt, daß die beiden genannten Disziplinen eine theoretische Grundlage für Aufbau und Anwendungen schnell arbeitender Rechen-und Steu­ erungssysteme schaffen. Das relative Gewicht der mathematischen Logik und der Algorithmentheorie wuchs auch in der Mathematik selbst stark an. Darüber hinaus dringen gegenwärtig in beträchtlichem Maße durch die Algorithmentheorie und die mathematische Logik mathematische Methoden in die Biologie, die Lin­ guistik, die Wirtschaftswissenschaften und sogar Philosophie der Naturwissen­ schaften ein. All dies hat dazu geführt, daß die mathematische Logik und die Algorithmentheorie angefangen haben, in die Lehrpläne unserer Universitäten und pädagogischen Hochschulen als für das Studium der Mathematikstudenten aller Fachrichtungen obligatorische Disziplin einzudringen. Das vorliegende Buch ist aus der Bearbeitung von Nachschriften von Vorlesun­ gen über mathematische Logik, Algorithmentheorie und deren Anwendungen ent­ standen, die der Verfasser in den Jahren 1956-1959 an der pädagogischen Hoch­ schule von lvanovsk und seit dem Jahr 1960 an der Universität Novosibirsk gehalten hat. In ihm wird nur die allgemeine Theorie der Algorithmen und der rekursiven Funktionen entwickelt. Ganz außerhalb des Rahmens des Buches blieben die Komplexe automobile· matentheorie, Anwendungen der Algorithmentheorie auf formale Theorien und Theorie der Unlösbarkeitsgrade. Eine irgendwie ausführliche Darstellung dieser Disziplinen zum gegenwärtigen Zeitpunkt bedarf besonderer Einzeldar­ stellungen.

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J = 1, ... , s) angegeben, die für ein beliebiges System x1, ... , x,. von Zahlen wahr oder falsch sein können. Wir nehmen ferner an, daß für kein System x1 , ••• , x,. von Zahlen gleichzeitig zwei der erwähnten Voraussetzungen wahr sein können. Eine durch das Schema + j/ f(xi, .. ) wahr ist, I = ...................... (xi> ... ), für die übrigen x1 , ••• , x,. definierte Funktion f(xi> ... ) heißt durch das Schema der Fallunterscheidung definierte Funktion. Es ist von der Natur der Funktionen /i und der Bedingungen P; abhängig, ob die Funktion f primitiv rekursiv ist.

Da die unter dem Summenzeichen vorkommende Funktion sg (iy-'- x) primitiv rekursiv ist, schließen wir auf Grund von Theorem 1, daß die Funktion [x y} und zusammen damit auch die Funktion rest(x, y) primitiv rekursiv ist. Man sagt, daß eineZahl x (ohne Rest) durch eineZahl y teilbar ist oder daß yx teilt, wenn rest(x, y) = 0 ist. Wir führen eine zweistellige Funktion div(x, y) ein durch die definitorische Festsetzung div (x,y) _ { 1, falls rest(x, y) = 0, 0, falls rest(x, y) =f= 0. Die offensichtliche Beziehung div (x, y) = sg rest (x, y) zeigt, daß die Funktion div (x, y) primitiv rekursiv ist.

Für die Primzahlen 2, 3, 5, 7, ... führen wir die Standardbezeichnung Po= 2, p 1 = 3, ... ein. Damit ist Pn die n 1-te Primzahl in der natürlichen Zahlenreihe. Wir werden mit lp(n) die charakteristische Funktion der Eigenschaft bezeichnen, Primzahl zu sein. Anders gesagt setzen wir lp(n) = 0 für eine Primzahl n und lp(n) = 1 für eine Zahl n, die keine Primzahl ist. : sg lnd x - 2j und folglich die Funktion lp(x) primitiv rekursiv. 2. Primitive Rekursivität arithmetischer Funktionen Eine der bekanntesten arithmetischen Funktionen ist die Funktion n(x), die gleich der Anzahl der x nicht überschreitenden Primzahlen ist.

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